Mouvement Multifractionnaire Stable Linéaire : estimation presque sûre en norme uniforme de la fonction de Hurst

Antoine Ayache - Université de Lille 1 (Laboratoire Paul Painlevé UMR 8524)
vendredi 29 mai 2015

Les processus multifractionnaires ont commencé à être introduits à partir du milieu des années 90 ; il s’agit de modèles aléatoires qui étendent le modèle classique Mouvement Brownien Fractionnaire (MBF), et offrent davantage de flexibilité que ce dernier. Dans leur contexte, le paramètre de Hurst constant H du MBF, est remplacé par une fonction H(.), appelée fonction de Hurst, qui dépend de façon Hölder continue de la variable temporelle t. Globalement et localement, la rugosité trajectorielle d’un processus multifractionnaire est déterminée par les valeurs de son paramètre H(.) ; ainsi l’estimation de ces dernières revêt de l’importance. Depuis environ deux décennies, plusieurs auteurs ont construit pour différents processus multifractionnaires (gaussiens en général), observés sur une grille, des estimateurs des valeurs des fonctions de Hurst associées. Souvent, ces estimateurs sont issus de moyennes empiriques (quadratiques en général) de variations discrètes des processus sous-jacents. Cette méthodologie est naturelle et justifiée ; toutefois, établir la consistance forte (ou même faible), des estimateurs, présente souvent des difficultés considérables, dues à des structures de dépendance complexes des variations : leurs covariances s’expriment de façons compliquées. Jusque-là, les stratégies, qui ont été développées, consistent à chercher à estimer finement ces covariances ; cela nécessite, en général, des calculs longs et difficiles. L’objectif de l’exposé est d’introduire une nouvelle stratégie ; la principale idée étant d’exprimer les variations discrètes, de telle sorte à ce qu’elles deviennent des variables aléatoires indépendantes, à des restes négligeables près. Cette stratégie est, non seulement, applicable dans un contexte gaussien, mais aussi dans un contexte de lois de probabilité à queue lourde. Pour cette raison, nous nous plaçons dans le cadre du Mouvement Multifractionnaire Stable Linéaire (MMSL) symétrique, non-anticipatif, et dont le paramètre de stabilité "alpha" appartient à l’intervalle ]1,2[. Dans ce cadre, nous obtenons d’abord un estimateur fortement consistant de min H(t), sur tout intervalle compact. Ce qui nous permet ensuite d’obtenir un estimateur fortement consistant de la fonction H(.), dans son ensemble. La convergence de ce dernier a lieu presque sûrement en norme uniforme ; ce type de résultat est assez inhabituel dans la littérature sur l’estimation statistique de fonctions.


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