Autres travaux pendant la période 2005-2008

dimanche 3 janvier 2010

Mis à part les actions projetées, les travaux suivants ont été réalisés pendant cette période. Ils ont comme thème l’analyse stochastique par rapport au fbm, le calcul de Malliavin, l’étude d’équations d’évolution en dimension infinie. Un autre thème a été l’analyse stochastique d’EDP non linéaires de l’hydro-dynamique en dimension 2 perturbées par un bruit gaussien multiplicatif.

ACTION B.30. Etude des variations des processus stochastiques auto-similaires, théorèmes limites et calcul de Malliavin

X. Bardina et M. Jolis, Universitat Autonoma de Bacelona, I. Nourdin, Université Paris 6 LPMA, D. Nualart, University of Kansas, C. Tudor, SAMOS et F. Viens, Purdue University

Le travail de Peccati et Nualart (2004) « Central limit theorems for multiple Wiener-Ito integrals », qui donne un critère de convergence vers la loi normale pour les variables aléatoires vivant dans un chaos de Wiener d’ordre fixé, a déclenché un important flux de travaux portant sur l’application de ces résultats. Nous avons obtenu d’abord en collaboration avec G. Peccati un critère de convergence multidimensionnel. Ensuite, avec F. Viens, I. Nourdin ou D. Nualart, nous avons obtenu des théorèmes limites pour les variations d’ordre supérieur du mouvement brownien fractionnaire et de certains processus associés. Nous avons également étudié des intégrales stochastiques multiples par rapport au fbm, ainsi que la convergence d’intégrales multiples.

- 2007 BARDINA, X. et TUDOR, C., The law of stochastic integrals with two independent frartional Brownian motions, Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana 13(1).

- 2007 NOURDIN, I., NUALART, D. et TUDOR, C., Central and Non-Central limit theorems for weighted power variations of fractional Brownian motion, soumis pour publication, arXiv:0710.5639 et hal-00184057.

- 2008 ES SEBAIY, K. et TUDOR, C. ; Non central limit theorem for the cubic variation of a class of selsimilar stochastic processes, soumis pour publication.

- 2009 TUDOR, C. et VIENS, F., Variations and estimators for the self-similarity order through Malliavin calculus, The Annals of Probability, à paraître, arXiv:0709.3896 et hal-00175730.

- 2009 BARDINA, X., JOLIS, M. et TUDOR, C., On the convergence of multiple Wiener-Itô integrals, Bulletin des Sciences Mathématiques, vol 133, p. 257-271..

- 2009 TUDOR, C. et VIENS, F., Variations of the fractional Brownian motion via Malliavin calculus, Proceedings of the JMASA Conference (Safi Maroc, juin 2008), Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, à paraître.

ACTION B.31. Equations stochastiques dirigées par le mouvement Brownien fractionnaire

R. Balan University of Ottawa, N. Eisenbaum et I. Nourdin, PMA Université Paris 6, S. Tindel, Université de Nancy 1, C. Tudor, SAMOS et F. Viens, Purdue University

Le calcul stochastique par rapport au mouvement brownien fractionnaire a été suivi naturellement par l’étude des équations stochastiques ayant ce processus comme bruit. Nous avons traité des aspects variés, comme les propriétés d’une équation avec un bruit multiplicatif dirigé par un drap fractionnaire, ou le cas de la dimension infinie. Dans le cas du mouvement brownien fractionnaire infini dimensionnel, nous avons prouvé des résultats (existence, unicité ou régularité de la solution) dans le cas du bruit linéaire additif.

- 2005 BOUFFOUSSI, B. et TUDOR, C., Kramers-Smolucchowsk approximation for stochastic equations with fbm. Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées, 50 (2).

- 2006 NOURDIN, I. et TUDOR, C., Some linear stochastic fractional equations, Stochastics and Stochastics Reports, 78(2), p.51-65.

- 2008 BALAN, R. et TUDOR, C., The stochastic heat equation with a fractional colored noise : existence of the solution, ALEA (Latin American Journal of Probability and Statistics), 4, p. 57-87

- 2009 BALAN, R. et TUDOR, C., Stochastic Heat Equation with Multiplicative Fractional Colored Noise, Journal of Theoretical Probability, à paraître.

ACTION B.32. Analyse stochastique pour des processus fractionnaires généralisés

K. Bertin et S. Torres, Université de Valparaiso, Chili, K. Es-Sabaiy et C. Tudor SAMOS, M. Maejima, Keio University, Japon, D. Nualart, University of Kansas, Y. Ouknine

Cette partie contient quelques travaux ayant comme but le développement d’un calcul stochastique par rapport a des processus fractionnaires, autres que le mouvement brownien fractionnaire. Ce sont en général des extensions de celui-ci (par exemple le brownien fractionnaire infini dimensionnel ou les processus de Rosenblatt). Le processus de Rosenblatt a été défini dans les années 70-80 dans le contexte du Théorème de la Limite Non Centrale : en effet certaines fonctionnelles quadratiques du brownien fractionnaire convergent vers ce processus. Comme le processus de Rosenblatt est auto similaire et de mémoire longue, il a suscité de l’intérêt pour des applications diverses. Nous avons également regardé les processus de Bessel fractionnaires, les processus gaussiens avec dérive ou les processus d’Hermite.

- 2007 MAEJIMA, M. et TUDOR, C., Wiener integrals and Non Central limit theorem for Hermite processes, Stochastic Analysis and Applications 25(5), p. 1043-1056.

- 2007 BERTIN, K., TORRES, S. et TUDOR, C., Maximum likelihood estimators and random walks in long memory models, arXiv:0711.0513 et hal-00184842.

- 2008 TUDOR, C., Analysis of the Rosenblatt process, ESAIM – Probability and Statistics, 12, p. 230-257.

- 2008 MAEJIMA, M. et TUDOR, C., Limits or bifractional noises, Communications on Stochastic Analysis, Vol. 3, p. 369-383.

- 2009 ES-SEBAIY, K., NUALART, D., OUKNINE, Y. et TUDOR, C., Occupation densities for certain processes related to fractional Brownian motion, Stochastics (à paraître), arXiv:0801.3314 et hal-00211827.

- 2009 TUDOR C. et FLANDOLI, F., Brownian and fractional Brownian sheet calculus via Malliavin calculus, Journal of Functional Analysis, à paraître.

- 2009 TUDOR, C., Hsu-Robbins and Spitzer’s theorem for the variations of the fractional Brownian motion, Electronic Communications in Probability, à paraître.

- 2009 CHRONOPOULOU A., TUDOR, C. et VIENS, F., Applications of Malliavin calculus and analysis on Wienr space for long-memory parameter estimation for non-gaussian processes, C.R.A.S. Mathématiques, Vol 357 (11-12), p. 663-666.

- 2009 CHRONOPOULOU, A., TUDOR, C. et VIENS, F., Variations and Hurst index of estimation for a Rosenblatt process unsing longer filters, soumis pour publication.

- 2009 CHRONOPOULOU, A., TUDOR, C. et VIENS, F., Self-similarity parameter estimation and reproduction properties for non-Gaussian Hermite processes, soumis pour publication.

ACTION B.33. Intégrales de Skorohod et martingales

K. Es-Selaiy et C.A. Tudor SAMOS, M. Thieullen et G. Peccati, Université Paris 6

Cette action comprend les travaux liés à l’intégrale de Skorohod sur les espaces de Wiener, Poisson ou Lévy. Les travaux listés ici étudient la relation entre cette intégrale de Skorohod qui est anticipante, c’est à dire que les intégrands ne sont pas forcément adaptés, et les martingales.

- 2006 PECCATI, G., THIEULLEN, M., TUDOR, C. . (2006), Martingale structure for Skorohod integral processes, The Annals of Probability 34(3), p. 1217-1239.

- 2007 PECCATI, G., TUDOR, C.A. (2007) Anticipating integrals and martingales on the Poisson space, Random Operators and Stochastic Equations 15(4), p. 327-352.

- 2008 ES-SABAIY, K., TUDOR, C.A., Lévy processes and Itô-Skorohod integrals, proceedings of the Skorohod Space Conference, Kyiv 2007, Theory of Stochastic Processes vol. 14(2), p. 10-18.

ACTION B 34 : Analyse stochastique des équations de l’hydrodynamique perturbées par un bruit gaussien multiplicatif.

H. Bessaih, University of Wyoming, I. Chueshov, Kharkov National University, J. Duan, Illinois Institute if Technology, A. Millet SAMOS

Nous étudions diverses équations de l’hydrodynamique, telle que l’équation de Navier-Stokes couplée avec d’autres EDP décrivant l’évolution de la température ou d’un champ magnétique. Ces modèles sont utilisés pour modéliser la géophysique (plasma) ou l’océan, ainsi qu’en climatologie. Nous montrons que, sous des conditions de parabolicité stochastique, avec un bruit gaussien dont l’opérateur de covariance est à trace, ces solutions admettent une solution unique dans X=C([0,T];H)\cap L^{2}([0,T];V) lorsque la solution initiale a des moments d’ordre 4 dans H. Nous établissons des estimées a priori sur la solution. Sous des conditions plus restrictives sur le coefficient de diffusion, nous établissons un principe de grandes déviations dans X pour des solutions soumises à une petite perturbation. La méthode utilisée est basée sur la convergence faible de familles de solutions d’équations contrôlées stochastiques, c’est à dire telles que le bruit gaussien est translaté par un élément aléatoire de son espace auto-reproduisant. Le support de la loi de la solution est également caractérisé dans l’espace X des trajectoires. Cette caractérisation repose sur une approximation de type Wong-Zakai d’une suite de processus généralisant l’équation d’évolution stochastique et l’équation contrôlée. Un résultat sur des moments d’accroissements temporels intégrés en temps est un outil essentiel de la démonstration.

Dans un travail en collaboration avec H. Bessaih, nous montrons un Principe de Grandes Déviations pour les « shell models of turbulence » lorsque le coefficient de viscosité converge, vers 0. Le PGD et établi dans C([0,T],V)V est un espace de Hilbert analogue à H^{1} muni d’une topologie plus faible que celle de la convergence uniforme dans V

- 2008 DUAN, J. et MILLET, A., Large deviations for the stochastic Boussinesq equation under random influence, Stochastic Processes and their Applications, Vol. 118 (6), p. 2052-2081.

- 2008 CHUESHOV, I. et MILLET, A, Stochastic 2D hydrodynamical type systems : well posedeness and large deviations, à paraître dans Applied Mathematics and Optimization, arXiv 0807.1810 et hal-00295023.

- 2009 BESSAIH, H. et MILLET, A., Large deviation principle and inviscid shell models of turbulence, soumis pour publication, hal-0038258 et arXiv:905.1854.

- 2009 CHUESHOV, I. et MILLET, A, Stochastic 2D hydrodynamical systems : support theorem, soumis pour publication, hal-00403685 et arXiv:0907.2100.

ACTION B 35 : Approximation des solutions ED backward doublement stochastiques

O. Aboura SAMOS

Dans sa thèse, O. Aboura étudie la vitesse de convergence de schémas de discrétisation de solutions d’ED backward doublement stochastiques introduites par Pardoux et Peng. La méthode est inspirée par les travaux de Zhang et repose sur une propriété de L2 régularité, mais les coefficients sont plus généraux et incluent le gradient de la solution. Les processus considérés sont fini-dimensionels.

- 2009 ABOURA, O., On the Discretization of Backward doubly stochastic Differential Equations, hal 00402977 et arXiv 0907.1406, soumis pour publication.


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