Approximations dans l’analyse mathématique des systèmes de files d’attente avec rappels

Natalia Djellab — Université d’Annaba (LaPS)
vendredi 18 novembre 2016

La théorie des files classique offre deux possibilités pour résoudre le conflit qui apparait lorsqu’un client arrive dans le système à serveur unique et trouve le serveur occupé : soit le client quitte le système sans recevoir le service (modèle d’Erlang à demandes refusées), soit il prend place dans une file d’attente (système de files d’attente). Une possibilité alternative est de permettre au client de répéter sa demande de service après une durée de temps aléatoire. Entre deux tentatives successives (rappels), le client est en orbite. Un tel système est appelé système de files d’attente avec rappels. Depuis les années 1980, on constate un regain d’intérêt pour ce type de modèles, et ceci du point de vue mathématique, numérique ainsi que des applications pratiques (pour résoudre les problèmes de performance de certains systèmes réels, notamment des réseaux de télécommunication, de l’Internet, des réseaux LAN de type bus à conflit d’accès, des réseaux ATM, …). L’étude des systèmes de files d’attente avec rappels présente de grandes difficultés analytiques. Les résultats détaillés existent pour certains modèles tandis que pour les autres, nous avons une pauvre information. De plus, les résultats obtenus sont en général d’une complexité particulière (ils contiennent des transformées de Laplace, des expressions intégrales, …) et donc d’une interprétation restreinte en pratique. Pour pallier à cette difficulté, on fait appel aux méthodes d’approximation qui permettent d’avoir des estimations quantitatives et/ou qualitatives pour certaines caractéristiques de performance. A cet effet, nous nous intéressons : à une approche basée sur la propriété de décomposition stochastique que peut posséder un modèle ; au comportement asymptotique du système ; à une approche basée sur le principe de troncation de l’espace d’états du processus décrivant l’état d’un système à une date particulière. La première approche offre les avantages de simplification de résolution de modèles complexes. Elle rend possible de se concentrer uniquement sur l’étude des effets du temps inter-rappels sur les caractéristiques du système étant donné que le serveur est libre. La seconde fournit des approximations des distributions des caractéristiques d’un système par des lois de probabilités classiques lorsque les différents paramètres du système en question prennent des valeurs limites. Enfin, la dernière est généralement utilisée dans l’analyse des systèmes à multiserveurs. Elle consiste à remplacer le processus (décrivant l’état du système), qui possède l’espace d’états infini et est hétérogène (dû au phénomène des rappels) par un autre homogène et ayant l’espace d’états fini ou infini mais résoluble. [1] N. Arrar, N. Djellab and J-B. Baillon. On the asymptotic behaviour of M/G/1 retrial queues with batch arrivals and impatience phenomena. Mathematical and Computer Modelling 55, 654-665, 2012. [2] N. Arrar, N. Djellab and J-B. Baillon. On stochastic decomposition property of single server retrial queueing systems. Turkish Journal of Mathematics. To be appear, 2016. [3] N.V. Djellab. On the M/G/1 retrial queue subjected to breakdowns. RAIRO : Operations Resarch 36, 299-310, 2002. [4] N. Djellab. Decomposition property of the M/G/1 retrial queue with feedback and general retrial times. Proceedings of the 9th International Symposium on Operational Research SOR’07, Nova Gorica, Slovenia, 2007. [5] N. Zidani and N. Djellab. On the multiserver retrial queues with negative arrivals. International Journal of Mathematics in Operational Research. To be appear, 2016.


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