ACTION B.9. Estimation d’un modèle de système de particules

X. Guyon, SAMOS, et B. Pumo, INH, Angers
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Les systèmes de particules constituent un domaine de la théorie des probabilités faisant appel à des techniques spécifiques originales et difficiles (i.e. cf le cours de St. Flour de Durrett). Ils modélisent des évolutions temporelles de configurations spatiales dont les transitions sont locales et invariantes par translation dans le temps et l’espace. Un PC modélise par exemple l’évolution d’une espèce végétale sur un réseau spatial, des phénomènes de coopération / compétition en économie spatiale. En dehors d’un travail de Fiocco et Van Zwett, il y a peu d’étude statistique sur ces modèles. Considérant un système de particules particulier, le processus de contact au 4-plus proches voisins et à temps discret (Durrett et Levin) et disposant d’une suite d’observations temporelles sur un domaine fini et fixé S, nous construisons une pseudo-vraisemblance marginale qui s’explicite aisément là où la vraisemblance exacte devient incalculable. Cette fonctionnelle permet d’identifier les paramètres du modèle et conduit à une estimation convergente et asymptotiquement normale pour l’asymptotique temporelle. Une propriété cruciale est la sous ergodicité du processus. Il faut maintenant généraliser ces résultats à d’autres systèmes de particules, mettre en place les outils statistiques et numériques permettant d’estimer et de valider un modèle de système de particules.

Bilan : Nous avons obtenu des résultats asymptotiques pour l’estimation d’un processus de contact (PC) au sens de Durrett-Levin lorsque nous disposons d’une séquence de T observations du PC sur une partie finie du réseau sur lequel est définie la dynamique (2publications). La vraisemblance étant numériquement incalculable, on utilise une pseudo-vraisemblance basée sur une « transition marginale » égale au produit des transitions en chaque sites.

- 2007 GUYON, X. et PUMO, B. (2007), Space-time estimation of a particule system model, Statistics, Vol. 41, 395-407

- 2005 GUYON, X. et PUMO, B. (2005), Estimation spatio-temporelle d’un système de particule, CRAS, Sér. I-340, 619-622.