ACTION B.8 Modèles autorégressifs à changements de régimes.

B. Maillet, TEAM, Paris I, M. Oltéanu, SAMOS et J. Rynkiewicz, SAMOS
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : a) Détermination du nombre de régimes : Les modèles à changements de régimes sont de plus en plus utilisés pour la description des séries temporelles. Une question récurrente est la détermination statistique du nombre de régimes. Des débuts de réponse ont été apportés par Elisabeth Gassiat et Stéphane Boucheron, nous nous proposons d’étudier l’extension de leurs résultats aux modèles auto-régressifs à changement de régimes. b) Modélisation « réaliste » de la durée des régimes. Outre l’identification du modèle, la deuxième critique que l’on puisse faire aux modèles utilisant des chaînes de Markov cachée est la pauvreté de la modélisation du temps passé dans chacun des régimes. Nous nous proposons d’introduire des modèles de durée pour obtenir des modèles semi-markoviens qui s’adaptent mieux aux données réelles. Les principales difficultés seront de trouver des méthodes de calculs qui ne consomment pas trop de ressources et d’étudier les propriétés statistiques des estimateurs obtenus.

Bilan : Ce travail constitue une partie de la thèse de M. Olteanu, soutenue en décembre 2006. Le problème de la sélection du nombre de régimes représente un cas typique de non-identifiabilité du modèle qui apparaît aussi, par exemple, pour les mélanges de densités. Ceci rend la matrice de Fisher non inversible et ne permet pas d’appliquer la théorie usuelle sur la convergence du rapport de vraisemblance. Notons aussi que ce rapport devient divergent dans certains cas comme celui des chaînes de Markov cachées (Keribin et Gassiat, 2000). Afin de contourner ce problème, nous avons proposé un critère basé sur la log-vraisemblance pénalisée et nous avons montré sa consistance. Le résultat a été démontré dans le cas où les changements de régime sont indépendants (mélanges de modèles autorégressifs). Les hypothèses du résultat de convergence ont été ensuite vérifiées dans le cas particulier des fonctions de régression linéaires et du bruit gaussien. La partie « difficile » a été de montrer que la classe des fonctions scores généralisés vérifie une condition sur sa complexité, exprimée en termes d’entropie à crochets. Afin de contourner les difficultés, nous avons introduit une reparamétrisation du modèle, inspirée d’un article de Liu et Shao (2003) et permettant un développement de Taylor à l’ordre deux autour de la vraie valeur des paramètres identifiables. Des simulations effectuées à l’aide d’un algorithme de type EM nous ont permis ensuite d’illustrer le résultat, sa vitesse de convergence et la stabilité de l’algorithme proposé.

- 2008 OLTEANU, M. et RYNKIEWICZ, J. Estimating the number of regimes in a switching autoregressive model. HAL archives hal-00137438, en révision pour ESAIM PS.


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