ACTION B.7 Franchissements par des processus gaussiens

M. Kratz, SAMOS, J. Léon et W. Urbina, UCV Caracas
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Il s’agit de poursuivre avec J. Léon l’étude sur les franchissements par des processus et champs gaussiens, à savoir retravailler les méthodes développées dans nos articles (1997, 2000 et 2001) sur le sujet pour trouver des conditions plus souples sur la fonction de corrélation du processus pour obtenir des théorèmes limites. Cela permettrait peut-être également de comprendre un peu mieux un problème très difficile, toujours ouvert, qui est la question de la condition nécessaire et suffisante pour avoir un second moment fini pour le nombre de franchissements d’ un niveau non nul ou d’une courbe différentiable. Une autre étude en cours, menée avec W. Urbina , est celle concernant les franchissements et le temps local pour des solutions d’EDS sans drift par un mouvement brownien fractionnaire. Finalement, il s’agirait de reprendre et clore une étude menée en 2000 (preprint samos127) sur la régularité du nombre de franchissements en un niveau donné par un processus gaussien stationnaire, dans laquelle reste une conjecture.

Bilan : Le travail réalisé dans le cadre de l’étude de fonctionnelles non linéaires de processus Gaussiens a permis de s’attaquer à différents problèmes (certains figurant dans le rappel du projet, d’autres nouveaux) en vue d’applications diverses.

Le problème de la condition nécessaire et suffisante pour avoir une variance finie du nombre de franchissements d’un niveau non nul ou d’une courbe différentiable par un processus stationnaire Gaussien a été finalement résolu (K. & L., Ann. Probab., 2006).

Par ailleurs, un important travail de synthèse des études faites sur le nombre de dépassements ou franchissements de niveau par un processus Gaussien (moments (factoriels ou non), conditions de finitude de ces moments, méthode de Rice, approximation du temps local par le nombre de franchissements, comportements asymptotiques du nombre de franchissements, et bibliographie exhaustive) a constitué la 1ère partie du document de HDR de M. Kratz (2005) et a fait l’objet d’une publication dans Probability Survey (2006).

Avec J. Leon, nous nous sommes également intéressés aux problèmes de réflexion et réfraction sur des surfaces aléatoires traités dans les années 60 par l’ingénieur physicien Longuet-Higggins ; nous avons démontré et complété les résultats qu’il avait obtenus de façon heuristique, en utilisant, entre autres, les études faites sur les franchissements de courbes différentiables par des champs gaussiens stationnaires. Un premier travail a fait l’objet d’une prépublication (preprint Samos-226, 2005). Nous avons complété l’étude afin d’obtenir les comportements limites et avons développé quelques applications, en particulier pour la modélisation de la mer (preprint 2008, hal-00239290).

Une autre étude utilisant l’approche par les franchissements et par la méthode de Rice concerne la modélisation des milieux poreux par un champ seuillé (à un niveau donné) et a été mené avec A. Estrade (Univ. Paris Descartes) et I. Iribarren (UCV, Caracas) dans le cadre du projet « mipomodim » ANR-05-BLAN-0017 (Janvier 2006-Juin 2009). Nous avons considéré un milieu poreux comme bi-phasique, avec une phase solide et une poreuse correspondant aux points de l’espace en lesquels un champ stationnaire fixé est au-dessus ou au-dessous d’un seuil donné, et avons observé les longueurs de cordes traversant ce milieu, technique couramment mise en oeuvre pour modéliser des milieux poreux et ayant une bonne adaptabilité aux données réelles. Les travaux existants sur la question étant jusqu’à présent essentiellement empiriques, il s’agissait de faire une étude analytique pour établir les lois exactes des cordes dans les deux phases, la loi jointe de deux cordes successives, ainsi que la corrélation à deux points. Les résultats obtenus (preprint 2007) ne nécessitent pas l’hypothèse d’indépendance entre les cordes, habituellement rencontrée dans la littérature sur le sujet.

- 2005 KRATZ, M. et LEON, J., Curve crossings and specular points, d’après Longuet-Higgins, preprint Samos-226 - Map5-2005-18.

- 2005 KRATZ, M., Etude des comportements extrêmes de processus stochastiques (HDR, Univ. Paris I, 2005).

- 2006 KRATZ, M. et LEON, J., On the second moment of the number of crossings by a stationary Gaussian process, Ann. Probab. 34.

- 2006 KRATZ, M., Level crossings and other level functionals of stationary Gaussian processes, Probab. Survey 3, 230-288..

- 2007 KRATZ, M. et LEON, J., Level curves, crossings and specular points for Gaussian models, preprint hal-00239290 (submitted).

- 2007 ESTRADE, A., IRIBAREN, I., KRATZ, M., Chord-distribution functions and Rice formulae. Application to random media, preprint MAP5-2007-10 ou hal-00161806.


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