ACTION B.6. Théorème Central Limite (TCL) pour les fonctionnelles de Champ de Markov

C. Gaetan, Univ. de Venise, et X. Guyon, SAMOS
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Les Champs de Markov (CM) interviennent dans la modélisation de nombreux problèmes, données longitudinales, imagerie, sciences de l’environnement, épidémiologie, etc. Les résultats mathématiques sont donnés généralement pour un champ défini sur un réseau régulier, typiquement Zd, comme en mécanique statistique. En fait, dans la plupart des applications citées précédemment, les réseaux spatiaux sont irréguliers, la structure de voisinage n’est pas invariante par translation tout comme les potentiels qui définissent les champs de Gibbs sous-jacent. Notre objectif est d’obtenir des résultats asymptotiques dans ce cadre non-régulier, TCL en particulier. Nous généralisons les résultats de Comets-Janzura à ce cadre pour une fonctionnelle conditionnellement centrée d’un champ de Markov. Une difficulté dans l’obtention d’un TCL est de s’assurer que la matrice de variance-covariance limite est définie positive. Nous donnons des outils pour vérifier cette condition en utilisant une structure d’indépendance conditionnelle pour la fonctionnelle aux sites définissant une partition conditionnellement séparante. Ces résultats permettent d’établir la normalité asymptotique d’estimateur de pseudo-vraisemblance conditionnelle d’un CM. Rappelons que sans hypothèse particulière (du type absence de transition de phase) nous ne savons pas si l’estimateur du MV est asymptotiquement gaussien. Ces résultats devraient permettre la construction de tests du Chi2 de pseudo-vraisemblance pour des modèles emboîtés.

Bilan : Très souvent (épidémiologie, environnement, sciences de la terre, etc.), les réseaux spatiaux sur lesquels sont définis des champs de Markov sont irréguliers, de structure de voisinage non invariante par translation tout comme les potentiels des champs de Gibbs sous-jacent. Notre objectif est toujours d’obtenir des résultats asymptotiques dans ce cadre non-régulier, TCL en particulier. Il s’agit donc de généraliser les résultats de Comets-Janzura à ce cadre « potentiels non-invariants par translation » pour une fonctionnelle conditionnellement centrée d’un champ de Markov. Une première difficulté dans l’obtention d’un TCL est d’abord de s’assurer que la matrice de variance-covariance limite est définie positive. Nous avons obtenu des outils qui permettent de vérifier cette condition en utilisant une structure d’indépendance conditionnelle pour la fonctionnelle aux sites définissant une partition conditionnellement séparante (Gaetan-Guyon). L’existence d’un TCL dans ce contexte est un problème difficile ; nous ne disposons pas en effet des outils classiques de la mécanique statistique qui considère toujours un réseau régulier et des modèles de Gibbs à potentiels invariants par translations.

- 2004 GAETAN, C. et GUYON, X. A Central Limit Theorem for conditionally centred functional of a Markov random field. 14 pages.


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