ACTION B.5. Auto-modèles à états mixtes

X.Guyon et C. Hardouin, SAMOS, J.F. Yao, IRISA et Univ. de Rennes 1
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : J. Besag a proposé en 1974 une famille importante de modèles à états réels caractérisés par leur famille de lois conditionnelles, les auto-modèles de Besag. Nous les généralisons au cas multivarié. Ceci permet de définir, entre autres, des modèles pour des variables à espace d’état mixte, par exemple E=0UR+. Un équivalent en économétrie est le modèle TOBIT. Les états mixtes se rencontrent dans divers domaines d’applications, par exemple en économie (dépenses de loisir d’un ménage), en analyse de données pluviométriques (0 signifie qu’il n’a pas plu, une donnée est >0 donnant la hauteur de pluie), en analyse du mouvement (0 repère un objet immobile et sinon la valeur >0 est le module de la vitesse enregistrée). Ces modèles s’étendent en champ de Markov sur réseau spatial S et en dynamique markovienne de champs de Markov. Ils se manipulent bien sur le plan statistique au travers de la pseudo-vraisemblance conditionnelle facile à expliciter et à manipuler là où la vraisemblance exacte est incalculable. Reste à identifier les propriétés des estimateurs, convergences, normalités et tests asymptotiques. Les auto-modèles markoviens exponentiels mixtes, bien adaptés à des données pluviométrique, seront étudiés et comparés à d’autres modèles sur la base de données réelles. Une première limitation de ces modèles est de ne pas permettre la coopération spatiale : des variantes sont étudiées, permettant la coopération. Une deuxième limitation de ces modèles est d’être rapidement de très grande dimension paramétrique si le champ est inhomogène spatialement ; nous proposons diverses alternatives permettant une forte réduction de la dimension, en particulier par le biais de la prise en compte de variables exogènes.

Bilan :

L’objectif était l’étude de modèles de champs spatiaux dont les observations appartiennent à un espace d’état E de nature mixte, par exemple des valeurs nulles accompagnées de valeurs réelles positives. Ces données se rencontrent par exemple en météorologie (absence ou hauteur de précipitation), en analyse du mouvement d’une séquence vidéo, en épidémiologie (absence d’une maladie et gravité si la maladie est présente).

Généralisation des auto-modèles de Besag :

Une première étape était de mettre en place une structure adéquate à la modélisation de telles variables mixtes. Les "auto-modèles" de Besag (1974) sont basés sur des propriétés des lois conditionnelles. Ils supposent que premièrement les interactions ne concernent que les singletons et les paires, deuxièmement que les lois conditionnelles sont dans une famille exponentielle. Une limitation majeure de cette famille de modèles est que les lois conditionnelles en question sont en dimension 1 dans la mesure où la statistique exhaustive et le paramètre naturel associé sont scalaires. Un second inconvénient réside dans les conditions d’utilisation de ces modèles. Il faut s’assurer que les lois conditionnelles se recollent en une loi jointe bien définie, intégrable. Cette condition d’intégrabilité va entraîner des contraintes sur les paramètres qui induisent des comportements de compétition entre sites voisins dans beaucoup de modèles, ce qui les rend inintéressants dans les applications. Nous avons travaillé sur l’idée de considérer des familles exponentielles pour lesquelles la statistique exhaustive ainsi que le paramétrage naturel associé sont en dimension supérieure ou égale à 2. Une première étape a été de décrire cette extension, et de donner un résultat de consistance pour l’estimateur de pseudo-vraisemblance conditionnelle. Un exemple important dans les applications de cette extension est l’utilisation de lois Beta conditionnelles pour des modèles coopératifs.

Auto-modèles mixtes :

La notion de données mixtes a tout d’abord été étendue au cas où les observations ont des composantes de nature différente, à valeurs dans un espace discret ou continu. Dans un second temps, le cadre des auto-modèles mutivariés a permis une modélisation directe, non hiérarchique de ces données de nature mixte. Comme dans le cadre univarié, l’intégrabilité de la loi jointe peut entraîner des contraintes sur les paramètres du modèle imposant un principe de compétition spatiale entre sites. Nous détaillons sur l’exemple exponentiel mixte (les lois conditionnelles présentent une masse en zéro et une densité exponentielle sur R+) des variantes, soit tronquées à droite, soit censurées à droite, qui elles, permettent la coopération. Enfin, cette nouvelle modélisation a été expérimentée sur des données réelles d’analyse de mouvement dans des séquences vidéo.

- 2006 BOUTHEMY, P., HARDOUIN C., PIRIOU, G. et YAO J.-F. Mixed state auto-models and motion texture modeling, J. M. I. V. , 25, 3, 387-402.

- 2007 HARDOUIN, C. et YAO J.-F. Multi-parameter auto-models with applications to cooperative systems, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345.

- 2008 HARDOUIN, C. et YAO J.-F. Multi-parameter auto-models and their application, A paraître dans Biometrika.

- 2008 HARDOUIN, C. et YAO J-F. Spatial modelling for mixed state observations. Electronic Journal of Statistics 2, 213-233.


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