ACTION B.23. Schémas de discrétisation pour des équations d’évolution non linéaires

I. Gyöngy, University of Edimburgh et A. Millet, SAMOS
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Dans un article écrit en collaboration avec I. Gyöngy lors d’un séjour qu’il a fait à Paris en mai 2003, nous avons montré la convergence de schémas de discrétisation explicite et implicite de l’équation d’évolution

u_{t}=u_{0}+\int_{0}^{t}A_{s}(u_{s})ds+\sum_{j=1}^{r}\int_{0}^{t}B_{s}^{j}(u_{s})dW_{s}^{j}

V est un espace de Banach, H est un espace de Hilbert tels que V\hookrightarrow H\hookrightarrow V^{*}. Les coefficients A:[0,T]\timesV\times\Omega\rightarrow V^{*} et B:[0,T]\timesV\times\Omega\rightarrow H^{r} satisfont des conditions de mesurabilité, de monotonicité et d’hemicontinuité, ainsi que de coercivité et de restriction sur la croissance qui peuvent dépendre de t.

Nous avons montré qu’un schéma implicite de discrétisation espace-temps u^{n,m} basé sur une méthode d’éléments finis linéaires existe et que, lorsque m,n tend vers +\infty, u^{n,m} converge faiblement dans L_{V}^{p}(\lambda) vers la solution u de l’équation d’évolution, où \lambda(t) est un poids qui apparaît dans la formulation de la coercivité et de la restriction sur la croissance. De plus, à un instant T>0 fixé, les variables aléatoires u^{n,m}(T) convergent fortement vers u_T dans L^2_H. La convergence d’un schéma implicite en temps (ainsi que celle d’un schéma explicite espace temps) est également prouvée ; la convergence du schéma explicite demande une condition supplémentaire sur les rapports entre discrétisation spatiale et temporelle. Contrairement au cas de schémas d’approximations pour des équations paraboliques semi-linéaires étudiées dans par Gyöngy, Millet-Morien , Printemps, … ou à dérive polynomiale (telle que l’équation de Cahn-Hilliard étudiée par Cardon-Weber), aucun résultat de vitesse de convergence n’est connu pour les schémas d’approximation de ces équations non-linéaires. Nous souhaiterions, au moins dans un cas particulier d’opérateur A, obtenir une vitesse de convergence forte pour les divers schémas étudiés. Nous pensons nous inspirer d’un article de Krylov qui établit une vitesse de convergence dans le contexte parabolique purement non-linéaire de l’équation de Bellman.

Bilan : Après l’étude théorique sur la convergence de schémas dans un cadre fortement non-linéaire, nous avons montré que dans le cas p=2, lorsque la solution a la propriété de régularité Höldérienne E||u_{t}-u_{s}||_V^2\leq(t-s)^{2V} , sous des hypothèses de monotonie forte du couple (A,B), de Lipschitz sur les opérateurs B(t,.) et de Lipschitz sur les opérateurs B(.,x), le schéma implicite en temps converge vers la solution dans L^{2}(\Omega,X), où X=C([0,T];H)\cap L^{2}([0,T];V), avec la vitesse de convergence \upsilon ou \upsilon/2 suivant que t → A(t,.) a on non la propriété de Lipschitz. Nous avons ensuite complété l’étude précédente en temps et en espace-temps pour des schémas explicites ou implicites avec des conditions générales de compatibilité entre les opérateurs définissant les processus approximant et limite. Les hypothèses faites englobent les approximations par ondelettes ou éléments finis. Des conditions suffisantes pour des équations quasi-linéaires donnent des exemples d’opérateurs satisfaisant les conditions abstraites lorsque H=L^{2}(R^{d}) et V=H^{1}(R^{d}) (resp. H=H^{r}(R^{d}) et V=H^{r+1}(R^{d}) dans un cas linéaire).

- 2005 GYONGY, I. et MILLET, A., On discretization schemes for stochastic evolution equations, Potential Analysis 23-2, p.99-134.

- 2007 GYONGY, I. et MILLET, A., Rate of convergence of Implicit Approximations for stochastic evolution equations, Stochastic Differential Equations : Theory and Applications (A volume in the honor of B. Rosovskii), World Scientific Interdisciplinary Sciences Vol. 2, p. 281-310.

- 2009 GYONGY, I. et MILLET, A., Rate of Convergence of Space-Time Approximations for stochastic evolution equations, Potential Analysis, Vol. 30 (1), p. 29-64.


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