ACTION B.22. Support des trajectoires irrégulières géométriques du Brownien fractionnaire

A. Millet, SAMOS et M. Sanz-Solé, Universitat de Barcelona
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Dans le cadre du mouvement Brownien d-dimensionnel, une topologie légèrement différente de celle de la p-variation , a permis a Friz et Victoir de retrouver les résultats usuels sur la caractérisation du support et les grandes déviations des diffusions dans la topologie usuelle de la norme uniforme ou des fonctions Höldériennes d’ordre \alpha\in]0,1/2[.

Nous avons commencé à étudier le mouvement Brownien géométrique W^{H} au-dessus du mouvement Brownien fractionnaire W^{H} d’indice de Hurst H. Dans le travail de L. Coutin et Z. Qian, l’approximation choisie consiste à utiliser les interpolées linéaires du Brownien fractionnaire W^{H}. A l’ordre 1 ces approximations n’appartiennent pas à l’espace auto-reproduisant de processus Gaussien W^{H}, ce qui pose problème pour utiliser un théorème de Girsanov même au premier ordre. Dans le but de transposer la technique de caractérisation du support de développée par A. Millet et M. Sanz-Solé et d’utiliser une topologie du type de celle de Friz et Victoir, nous avons introduit des approximations W^{H}(n) de W^{H}, différentes et appartenant à l’espace auto-reproduisant de W^{H} et avons montré la convergence de W^{H}(n) vers W^{H} dans la norme de la p-variation pour pH>1. Dans le cas 1/4< H< 1/2, ces approximations permettent de définir des intégrales stochastiques itérées par rapport à W^{H}(n). Nous avons établi la convergence de cette suite vers le Brownien fractionnaire au premier niveau dans la topologie de la p-variation pour pH>1. Suivant les valeurs de H par rapport à 1/3, qui déterminent la régularité des trajectoires des processus, il nous reste à établir la convergence des intégrales stochastiques doubles (et triples) vers les composantes correspondante du Brownien fractionnaire géométrique W^{H} construit au-dessus de W^{H}. Ceci fournira directement la caractérisation du support trajectoires de W^{H} dans une topologie de la p-variation (et dans une topologie plus naturelle de norme Höldérienne).Nous souhaitons ensuite définir une application d’Itô étendant l’intégrale stochastique par rapport au mouvement Brownien fractionnaire et, de nouveau, le cas H< 1/2 risque d’être beaucoup plus délicat, ne serait-ce que par le type d’intégrale stochastique qu’il faudra considérer.

Bilan : Nous avons introduit des approximations qui permettent de caractériser le support de la loi du brownien fractionnaire. Signalons que les approximations de type Stoock-Varadhan que nous avons proposées, à l’aide des rough paths au-dessus des éléments de l’espace auto-reproduisant, ne sont pas des interpolées linéaires, contrairement à l’approche classique. Elles sont plus proches des travaux de D. Feyel et A. de la Pradelle et permettent de trouver la même caractérisation du support de la loi des trajectoires rugueuses au-dessus du brownien fractionnaire que celle obtenue indépendamment par L. Coutin, P. Friz et N. Victoir. Les démonstrations reposent sur du calcul stochastique anticipatif et des estimations précises du noyau permettant une représentation intégrale de WH à l’aide du brownien. Nous avons également prouvé un principe de grandes déviations pour les rough paths au-dessus du mouvement Brownien fractionnaire d’indice de Hurst H > 1/4, qui s’étend ensuite aux diffusions dirigées par ce processus grâce au théorème de continuité universelle de T. Lyons. Ce travail complète l’article de M. Ledoux, Z. Qian et T. Zhang pour les trajectoires rugueuses au-dessus du mouvement Brownien.

- 2006 MILLET, A. et SANZ-SOLE, M., Large deviations for rough paths of the fractional Brownian motion, Annales de l’Institut Henri Poincaré (B), Probabilités et Statistiques 42-2, p. 245-271.

- 2008 MILLET, A .et SANZ-SOLE, M. Approximations and support for the rough paths of the fractional Brownian motion, Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications V, Series Progresses in Probability 59, p. 275-304.


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