ACTION B.20. Dépendance et processus alpha-stables

J.-M. Bardet, SAMOS et P. Bertrand, Université Blaise Pascal
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet:Les mouvements browniens fractionnaires multi-échelles sont une généralisation des mouvements browniens fractionnaires et sont tels que le paramètre de Hurst définissant en quelque sorte l’irrégularité de la trajectoire soit dépendant de la fréquence (« l’échelle ») à laquelle on se place. L’étude de tels processus introduits par Benassi et Deguy (1999) a déjà fait l’objet de deux travaux communs (J.-M. Bardet et P. Bertrand) qui sont en voie de publication. La définition de tels processus est obtenue à partir de l’expression dite « harmonisable » du mouvement brownien fractionnaire. Une telle écriture garantie la stationnarité des accroissements du processus, mais limite au cas gaussien. Notre projet de recherche est une généralisation de ce procédé à des processus alpha-stables (on trouve des éléments en vue de cette démarche dans le livre de Samorodnisky et Taqqu, 1994). Un exemple qui se prête naturellement à ce projet est le processus alpha-stable linéaire fractionnaire, pour lequel la mesure brownienne est remplacée par une mesure alphastable dans l’écriture sous forme de moyenne mobile du mouvement brownien fractionnaire. L’étude des propriétés d’autosimilarité et d’irrégularité locale devra être effectuée, ainsi que les propriétés de dépendance des accroissements d’un tel processus. Enfin, la méthode d’analyse par ondelettes pourrait amener à des estimations semi-paramétriques des paramètres du modèle ainsi qu’à un possible test d’adéquation.

Bilan : Si une poursuite des travaux réalisés avec P. Bertrand (qui se sont conclus par 2 publications, Bardet et Bertrand, 2007a et 2007b) a bien eu lieu, l’extension considérée n’a pas été celle des processus alphastables. Nous nous sommes penchés sur l’étude de trajectoires de processus gaussiens à accroissement stationnaires (ou stationnaires) observés suivant des instants aléatoires. La méthode d’analyse par ondelettes permet de s’affranchir de la difficulté d’un échantillon à pas irréguliers, et on peut montrer que la variance empirique des coefficients d’ondelettes vérifie un théorème de la limite centrale. Ce résultat permet la construction d’un estimateur non-paramétrique de la densité spectrale en considérant des ondelettes dont le support de la transformée de Fourier est compact et symétrique. Une première application a conduit à une première publication (Bardet et al. 2008) avec un travail numérique réalisé sur des données de fréquences cardiaques instantanées. Une prépublication (Bardet et Bertrand, 2008) se place dans un cadre plus général et offre de nombreuses simulations et applications numériques sur des données réelles.

- 2007 BARDET, J.-M. et BERTRAND, P., Definition, properties and wavelet analysis of multiscale fractional Brownian motion. Fractals, 15, 73-87.

- 2007 BARDET, J.-M. et BERTRAND, P., Identification of the multiscale fractional Brownian motion with biomechanical applications. Journal of Time Series Analysis, 28, 1-52.

- 2008 BARDET, J.-M. et BERTRAND, P., A nonparametric estimation of the spectral density of a continuous-time Gaussian Process observed at random times. HAL archives hal-00276735.

- 2008 BARDET, J.-M., BERTRAND, P. et BILLAT, V. (2008). Estimation non-paramétrique de la densité spectrale d’un processus gaussien échantillonné aléatoirement. Ann. I.S.U.P., 52, 123-138.


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