ACTION B.18. Statistique paramétrique et non-paramétrique pour des processus à faible dépendance

J.-M. Bardet, SAMOS, P. Doukhan SAMOS et Université de Cergy-Pontoise, J. Léon, Université de Caracas
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Les processus faiblement dépendants ont été introduits par Doukhan et Louichi (SPA, 1999) pour définir une nouvelle forme de dépendance plus générale et effective que celle des différentes classes de processus mélangeant. Hors les processus longue mémoire, la plupart des exemples classiques de séries chronologiques stationnaires (ARMA, GARCH,…) sont des processus faiblement dépendants. De nombreuses études probabilistes et statistiques sont en cours sur ces processus (Rio, 2002, Dedecker et Doukhan, SPA 2003, Dedecker et Prieur, 2004). Nous nous sommes tout d’abord intéressés au comportement asymptotique du périodogramme intégré de tels processus. Nous avons ainsi obtenu des théorèmes de limite centrale uniformes pour une classe de fonctions dans un espace de Sobolev. L’utilisation naturelle de ceci est l’obtention de théorèmes de la limite centrale pour les estimateurs paramétriques (technique du maximum de vraisemblance de Whittle) de ces processus. Par ailleurs, le traitement des processus faiblement dépendants non-causaux a nécessité l’étude poussée de la vitesse de convergence vers la loi normale de sommes de fonctions du processus. Un tel résultat est la source de nombreuses conséquences possibles en statistique non-paramétriques, telles l’estimation semi-paramétrique et des tests d’adéquation. L’exploitation et l’extension de ces résultats est l’objet de la thèse de O. Winterberger (codirection, J.-M. Bardet et P. Doukhan) qui débute en septembre 2004.

Bilan : De ce projet, et avec l’arrivée de P. Doukhan au sein du SAMOS, de très nombreuses études ont été développées.

En premier lieu, le livre Dedecker et al. (2007) (Lecture Notes 190 in Statistics, 350 pages), est maintenant la référence de la théorie en plein développement de la dépendance faible initiée par Doukhan et Louhichi dès 1996. Dans Doukhan et Neumann (2008) nous présentons aussi de riches applications des notions de dépendance faibles au ré-échantillonnage. Dans Doukhan, Neumann (2007), des inégalités exponentielles du type de Bernstein et des inégalités de Rosenthal précises sont prouvées par des techniques de cumulants sous des hypothèses de dépendance faible. Leur application aboutit à de nombreux énoncés liés à la loi du logarithme en probabilité. Ainsi des vitesses minimax sont obtenues dans ce contexte dépendant.

Dans Bardet, Doukhan, Lang et Ragache (2008), nous étendons la méthode de Lindeberg à un cas dépendant, son applications à des questions de sous échantillonnage et d’estimation fonctionnelle montrel’attrait de notre énoncé, pourtant très simple. Dans Doukhan et Wintenberger (2007), la méthode de Lindeberg précédemment citée permet d’aboutir à des résultats étendant le théorème de Donsker sous des conditions de dépendance faible. On trouve également dans Bardet, Doukhan et Leon (2008a) un théorème de la limite centrale pour des fonctions de séries chronologiques faiblement dépendantes, avec des applications pour l’estimation des moments. Par ailleurs, des théorèmes limite uniformes sont démontrés pour les formes quadratiques de processus faiblement dépendants. Une application à l’estimation paramétrique de Whittle est ensuite proposée, et un théorème de la limite centrale de l’estimateur est montré ; de très nombreux exemples de processus faiblement dépendants sont ensuite proposés (voir Bardet, Doukhan et. Leon, 2008b).

Dans Doukhan, Fermanian, Lang (2008), un TLC empirique multidimensionnel permet d’obtenir les propriétés asymptotiques des copules empiriques, très utilisés par les financiers. Le comportement de la densité de copule y est aussi abordé ainsi que l’étude asymptotique de copules paramétriques. Dans P. Doukhan, N. Mayo, L. Truquet. (2008), loin de se limiter à un article de revue ce travail exhibe les propriétés asymptotiques d’estimateurs de moindres carrés pour des modèles ARCH infinis. Une dernière partie montre aussi des inégalités de moments et un théorème de Donsker pour des champs aléatoires. Dans Doukhan, Latour et Oraichi (2006), un modèle de type ARCH à valeurs entières est construit en utilisant les idées de A. Latour, Ses propriétés de dépendance faible permettent de déduire la consistance et la normalité asymptotique d’estimateurs empiriques de ses paramètres.

Dans Doukhan, Madré et Rosenbaum (2007), nous prouvons les proprètés de dépendance faible d’un modèle à mémoire infini introduit par Giraitis et Surgailis en 2002 ; de plus l’étude de la régularité de ses répartitions finies permet d’en envisager les propriétés asymptotiques d’estimateurs non paramétriques. Dans Doukhan, Teyssière et Winant (2006), une large classe de modèles de séries temporelles est mise en lumière ici, elle étend de nombreux modèles économétrique ; nous en déterminons aussi les proprètés de dépendance faible. Ces modèles généralisent le précédent. Dans Doukhan et Wintenberger (2008), des modèles non Markoviens et non linéaires à mémoire infinie étendent ici la plupart des modèles utilisés en statistique des séries temporelles et en économétrie : nous prouvons qu’ils satisfont aussi à des conditions de dépendance faible. Ces derniers résultats sont utilisés avec succès dans Bardet et Wintenberger (2007), où l’on définit un modèle causal multidimensionnel et on étudie la convergence du quasi-maximum de vraisemblance (loi des grands nombres fortes et TLC). Les résultats obtenus améliorent tous ceux existant, et permettent de traiter de nouveaux processus par cette méthode d’estimation (processus TARCH par exemple).

- 2008 BARDET, J.-M., DOUKHAN, P. et LEON, J. A functional limit theorem for η-weakly dependent processes and its applications. Statistical Inference for Stochastic Processes, 11, 3, 265-280.

- 2008 BARDET, J.-M., DOUKHAN, P. et LEON, J. Uniform limit theorems for the integrated periodogram of weakly dependent time series and their applications to Whittle’s estimate. Journal of Time Series Analysis , 29, 906-945.

- 2008 BARDET, J.-M., DOUKHAN, P., LANG, G. et RAGACHE, N. Dependent Lindeberg central limit theorem and some applications. ESAIM Probability and Statistic,12, 154-172.

- 2007 DEDECKER, J., DOUKHAN, P., LANG, G., LEON, J., LOUHICHI, S. et PRIEUR C. Weak dependence : with examples and applications. Lecture Notes in Statistics, 190, Springer.

- 2008 DOUKHAN, P., FERMANIAN, J.-D. et LANG, G., An empirical central limit theorem with applications to copulas under weak dependence. A paraître dans Statistical Inference for Stochastic Processes.

- 2008 DOUKHAN, P. et LANG, G. Evaluation for moments of a ratio with application to regression estimation. HAL

- 2006 DOUKHAN, P., LATOUR, A. et ORAICHI, D. A simple integer-valued bilinear time series model. Adv. in Appl. Probab., 38, 559-578.

- 2007 DOUKHAN, P., MADRE, H. et ROSENBAUM, M,. ARCH type bilinear weakly dependent models. Statistics, 41, 31-45.

- 2008 DOUKHAN, P., MAYO, N. et TRUQUET, L., Weak dependence, models and some applications. A paraître dans Metrika (2008).

- 2007 DOUKHAN, P. et NEUMANN, M., Probability and moment inequalities for sums of weakly dependent random variables, with applications. Stochastic Process. Appl. 117, 878-903.

- 2008 DOUKHAN, P. et NEUMANN, M., The notion of weak dependence and its applications to bootstrapping time series. Probability Surveys 5.

- 2006 DOUKHAN, P., TEYSSIERE, G. et WINANT, P., A LARCH$(∞-vector valued process. Dependence in probability and statistics, 245-258, Lecture Notes in Statistics, 187, Springer.

- 2007 DOUKHAN, P. et WINTENBERGER, O., An invariance principle for weakly dependent stationary general models. Probab. Math. Statist., 27, 45-73.

- 2008 DOUKHAN, P. et WINTENBERGER, O. (2008)., Weakly dependent chains with infinite memory. Stochastic Process. Appl., 118, 11, 1997-2013.


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