ACTION B.17. : Sélection de modèle, détection de ruptures et analyse multispectre

J.-M. Bardet, SAMOS, Véronique Billat, Laboratoire d’Etude de la PHysiologie de l’Exercice, et I. Kammoun, SAMOS
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Nous avons entrepris un travail en commun avec le Laboratoire d’Etude de la PHysiologie de l’Exercice de l’Université Evry Val d’Essonne. Disposant d’un grand nombre de relevés de signaux (fréquence cardiaque et pulmonaire, vitesse en fonction du temps) de coureurs au cours d’un marathon, l’objectif de ce travail, et en particulier de la thèse de I. Kammoun, est d’analyser ces signaux pour en obtenir de possibles modélisations et de détecter de potentielles ruptures lors de l’épreuve. Ceci qui pourrait aboutir à plus long terme à un outil d’aide au diagnostic et de prévision de « dysfonctionnement » physiologique (arrêt cardiaque par exemple) pour les athlètes. La recherche de potentielles ruptures et leur détection pourront être d’abord étudiée sur les indicateurs classiques que sont la moyenne ou la variance du signal, à partir de technique de contrastes pénalisés, mais également sur l’irrégularité même de ces signaux, ceci à l’aide de l’analyse par ondelettes (voir également le travail précurseur de V. Billat et Y. Meyer, 2002). L’étude du comportement « multifractal » de ces signaux est ainsi un objectif à plus long terme de ce projet.

Bilan : Ce travail en collaboration constitue la thèse de doctorat de Imen Kammoun, soutenue en décembre 2007. Trois directions de recherche ont finalement été suivies :

  1. un premier travail a consister à montrer que l’estimateur DFA (Detrended Fluctuations Analysis) utilisé fréquemment par les physiciens, physiologistes,..., pour estimer le paramètre de longue mémoire pour des séries avec tendance, n’est finalement pas un choix raisonnable. Un travail théorique montre d’abord que dans un cadre semi-paramétrique, la vitesse de convergence de l’estimateur DFA pour un processus gaussien stationnaire (sans tendance) n’atteint pas toujours la vitesse de convergence mini-max, atteinte pourtant par les estimateurs log-périodogramme, à ondelettes, à contraste de Whittle local,.... Ensuite, on montre que sur des tendances les plus élémentaires la méthode DFA conduit à des estimations du paramètre de longue mémoire totalement erronées. Des simulations illustrent les résultats théoriques obtenus. Cette étude a amené la publication Bardet et Kammoun (2008a).
  2. un second travail, centré sur l’objectif de la modélisation des données de fréquences cardiaques instantanées pendant une épreuve d’endurance a conduit à définir un nouveau type de processus : les bruits gaussiens localement fractionnaires, pour lesquels, dans une gamme de fréquence finie, le comportement de la densité spectrale est celui d’une loi de puissance. La puissance de cette loi étant une fonction affine du paramètre de fractalité locale, qui est une généralisation du paramètre de Hurst, ayant la vertu de pouvoir être tout nombre réel et non seulement un nombre dans [0,1]. Ensuite, une méthode d’estimation de ce paramètre est proposée, utilisant l’analyse par ondelettes, et un test d’adéquation est enfin proposé (les comportements asymptotiques sont également étudiés). Cette méthode est appliquée aux données de fréquences cardiaques instantanées, après que celles-ci aient été découpées en 3 zones : début de course, milieu de course et fin de course. On montre alors que la modélisation par un bruit gaussien localement fractionnaire est validée dans chacune des zones (alors qu’elle ne l’est pas sur l’ensemble de la course) et on montre également que le paramètre de fractalité locale augmente significativement au cours de la course. Ce travail a conduit à la prépublication : Bardet et al. (2008).
  3. enfin, une troisième étude traite de la détection des paramètres de longue-mémoire, de local fractalité ou d’autosimilarité pour des séries chronologiques gaussiennes. On montre ainsi la convergence vers les instants de ruptures (supposés en nombre fini connu), et un théorème de la limite centrale pour l’estimation des différents paramètres dans chaque zone estimée. Des simulations montrent la qualité des estimateurs et l’application aux données physiologiques de fréquences cardiaques instantanées permet de détecter l’apparition de la fatigue chez un coureur, ce qui se manifeste par une rupture sur le paramètre de fractalité locale. Une note succincte découle de ce travail (voir Bardet et Kammoun, 2008b) ainsi qu’une prépublication Bardet et Kammoun (2007).

- 2007 BARDET, J.-M., BILLAT, V. et KAMMOUN, I. A new stochastic process to model Heart Rate series during exhaustive run and an estimator of its fractality parameter. HAL archives hal-00176298.

- 2007 BARDET, J.-M. et KAMMOUN, I. Detecting changes in the fluctuations of a Gaussian process and an application to heartbeat time series. HAL.archives hal-00194909.

- 2008 BARDET, J.-M. et KAMMOUN, I. Asymptotic Properties of the Detrended Fluctuation Analysis of Long Range Dependence Processes. IEEE Trans. on Info. Theory 54, 2041-2052.

- 2008 BARDET, J.-M. et KAMMOUN, I. Detecting abrupt changes of the long-range dependence or the self-similarity of a Gaussian process. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 346, 889-894.


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