ACTION B.16. Analyse par ondelettes de processus longue mémoire.

J.-M. Bardet, H. Bibi, SAMOS et G. Teyssière, ENSAI et SAMOS
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : L’analyse par ondelettes des processus autosimilaires et des processus longue mémoire a été initiée dans une optique de traitement du signal par Flandrin (IEEE, 1992) et Abry et Veitch (JTSA, 1998) et a été reprise dans un cadre plus mathématique par Bardet, Lang, Moulines et Soulier (SISP, 2002). Il s’agit d’utiliser la propriété d’invariance d’échelle (asymptotique dans le cadre des processus longue mémoire) des moments d’ordre 2 du processus, en la retrouvant sur les moments d’ordre 2 empirique des coefficients d’ondelette du processus pour certaines échelles choisies. Plusieurs questions demeurent, notamment les propriétés statistiques des estimateurs du paramètre (d’autosimilarité ou de Hurst) pour des processus non-gaussiens, le choix adaptatif de la gamme d’échelles permettant de l’estimation et la généralisation de cette technique à des processus alpha-stables. Ceci est le projet de thèse de doctorat de Hatem Bibi.

Bilan : Une première étape de la thèse de Hatem Bibi a été menée à bien : celle de la construction d’un estimateur adaptative du paramètre de mémoire pour les séries chronologiques gaussiennes, et ceci dans un cadre semi-paramétrique très général. Le comportement asymptotique de l’estimateur a été étudié, et un théorème de la limite centrale a été démontré. Des simulations ont été réalisées, montrant la rapidité de convergence de cet estimateur en comparaison de celles des estimateurs semi-paramétriques les plus performants (méthodes du log-périodogramme, contraste de Whittle,...). Une publication est issue de ce travail : Bardet, Bibi et Jouini (2008).
Ceci a permis également de mettre en place et à disposition de tous (voir le site internet du SAMOS) toute une gamme de logiciels (écrits en Matlab) permettant la simulation et l’estimation (paramétrique ou semi-paramétrique) de processus à longue mémoire.
Un deuxième travail portant sur les processus linéaires à paramètre de mémoire est en cours et devrait être achevé avant la fin 2008.

Sur la même thématique, Teyssière et Abry (2007) ont étudié la robustesse de l’estimateur du paramètre de longue mémoire basé sur les ondelettes de Abry et Veitch (1998) dans le cas des modèles de volatilité les plus utilisés en statistique/économétrie de la finance. Il apparaît que cet estimateur est peu sensible au nonlinearités, ruptures et changement de régime observés sur des séries financières habituelles. Ceci permet d’établir un diagnostic sur le présence supposée de longue portée dans les processus de volatilité en finance ou deux points de vue radicalement opposés prévalent : processus fortement dépendant, ou processus stationnaire. L’estimateur du paramètre de longue portée basé sur les ondelettes nous permet de conclure qu’il est plus vraisemblable que les deux phénomènes coexistent. Ceci a des conséquences sur les méthodes de valorisation des options. Ce travail a été publié dans Teyssière et al. (2007) Long Memory in Economics, Springer Verlag.

- 2008 BARDET, J.-M., BIBI, H. et JOUINI, A. Adaptive wavelet based estimator of the memory parameter for stationary Gaussian processes. Bernouilli , 14, 691-724.

- 2005 TEYSSIERE, G. et ABRY, P. Wavelet Analysis of Nonlinear Long-Range Dependent Processes. Applications to Financial Time Series, dans Long-Memory in Economics, G. Teyssière and A. Kirman editors, 173-238, Springer Verlag.