ACTION B.15. Trajectoires irrégulières géométriques du drap Brownien

A. Millet SAMOS et M. Sanz-Solé, Universitat de Barcelona
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : Nous souhaitons proposer une définition possible de trajectoires géométriques pour le drap Brownien comme un processus indexé par deux paramètres jouant des rôles symétriques, et pas par une approche fonctionnelle du type de celle de M. Ledoux, T.J. Lyons, Z. Qian. En effet, une telle définition devrait permettre de mettre en oeuvre toute une étude pour les EDP stochastiques similaire à celle des EDS par rapport au Brownien. Cependant, on sait (Millet et Sanz-Solé, Bally-Millet et Sanz-Solé, ...) que la caractérisation du support des équations paraboliques ou hyperboliques est assez différente de celle des diffusions. En effet, dans le cas hyperbolique (le plus proche de celui des diffusions), il faut jouer sur toute une famille d’interpolées linéaires adaptées non homogènes du drap Brownien. Si les ensembles d’équations contrôlées sont les mêmes, les deux inclusions du théorème du support sont prouvées en utilisant es approximations différentes du drap Brownien. De même, dans Nualart-Sanz la condition d’ellipticité est formulée non pas à l’aide es crochets de Lie, mais des dérivées covariantes des coefficients e diffusion. Cette façon d’écrire des éléments à l’aide de produits d’exponentielles est à la base de la définition de norme proposée dans Friz-Victoir et devrait également permettre une définition des trajectoires géométriques. Le cas des équations paraboliques est pire car c’est une suite divergente de coefficients qui apparaît dans la suite des équations contrôlées approximante. Il est clair que c’est une formule de Taylor stochastique, du genre formule d’Itô montrée par Hajek, qui devrait fournir la bonne notion de trajectoire multiplicative, mélangeant des accroissements rectangulaires et des intégrales doubles sur des rectangles emboîtés et sur des rectangles « non-comparables ».

Bilan : Ce projet n’a pas été réalisé dans la forme prévue. Nous avons en effet rencontré des difficultés techniques pour définir une « bonne » notion de « rough path » au-dessus d’un processus à deux paramètres tel qu’un drap brownien. Cependant, l’action B.22 centrée sur les trajectoires rugueuses au-dessus du brownien fractionnaire d’indice de Hurst H tel que 1/4


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