ACTION B.12. Variations quadratiques, outils d’identification de champs gaussiens sur R2

S. Cohen et M. Pontier, LSP à l’UPS, Toulouse, O. Perrin, GREMAQ à Toulouse 1, X. Guyon, SAMOS
dimanche 3 janvier 2010

Rappel du projet : On sait (cf. thèse de Guyon-Prum) qu’il existe une grande variété de variations quadratiques pour un champ sur R2 : variations sur un segment, variations curvilignes, variations produit, variations superficielles, etc . Cette situation contraste avec celle des processus à un indice où il n’existe qu’une seule variation quadratique non triviale. Mieux, pour les champs, ces variations peuvent être paramétrées par un facteur qui est sous notre contrôle, par exemple l’angle que fait le segment avec l’axe des x pour une variation linéaire, la géométrie du rectangle (ratio des deux côtés) pour une variation superficielle, etc. Ceci explique pourquoi ces variations sont un outil d’identification de modèle efficace (cf Guyon, PTRF 1987, Leon et Ortega 1989). Notre objectif est d’enrichir et de préciser ces résultats pour deux modèles gaussiens particulier : le drap brownien fractionnaire standard et le drap brownien fractionnaire. Nous montrons pour le premier que les variations sur segments permettent d’identifier une transformation isométrique du drap. Pour le deuxième modèle, et en nous limitant à une rotation, nous identifions l’angle de cette rotation ainsi que les deux paramètres fractionnaires. Une question importante qui subsiste est la mise en œuvre statistique et numériquement ces résultats théoriques : quels schémas d’estimation associés à quel bon jeu de fonctionnelles d’identification lorsque le champ n’est observé que sur un maillage fin, mise en place des intervalles de confiance d’un paramètre, procédures de tests. Ces résultats s’appliquent potentiellement à l’identification d’images observées finement, comme par exemple les images médicales.

Bilan : Deux articles sont parus. Le premier montre comment l’utilisation d’une bonne fonction de singularité permet, entre autre, d’identifier les deux paramètres d’un drap Brownien fractionnaires. Un deuxième explicite le fait que les variations sur segments permettent d’identifier une transformation isométrique du drap brownien. Une question pratique importante subsiste, à savoir celle de la mise en œuvre statistique et numérique de ces résultats. Les domaines d’applications potentiels concernent l’identification d’images observées à haute résolution, comme par exemple les images médicales.

- 2006 COHEN, S., GUYON, X., PERRIN, O. et PONTIER, M., Identification of an isometric transformation of the standard Brownian sheet, Jour. Stat. Planning and Inf., 136, 1317-1330

- 2006 COHEN, S., GUYON, X., PERRIN, O. et PONTIER, M., Singularity functions for a fractional process : application to the fractional Brownian shett, Ann. I.H.P., 42, 187-205